- 3. ゾーン化

ゾーンの方式

次にゾーンと方式との関係を説明しておこう。そうすることでゾーン多面体をシンプルにとらえることができる。

図２１８はゾーンの交差を概念図によって示すものである。この図においてゾーン１５は、座標軸１２を地軸とみなした場合赤道に位置し、体の周りを一周している。

座標軸数ｎはゾーンを示す数でもあり、二本の座標軸１２に二つのゾーン１５が対応している。

座標軸が互いに交差する位置は体の体心１１の一点であるが、それに対応するゾーンの場合、二本のゾーンが互いに交差する位置は二つの面となり、地軸に対して東西の二箇所の面１６となる。いわゆる一つのゾーンは交差する他のゾーンと二つの面を共有することになる。

数式で説明すると、一つのゾーンにはそれ自身を除く（ｎ－１）のゾーンが重なっている。そして、このゾーンは他のゾーンと共有する２面を有することにより２（ｎ－１）の平行四辺形を有することになる。

図２１８

例えば、四つの座標軸を備える菱形１２面体の場合、一つのゾーンに対して３本のゾーンが重なり、一本のゾーンは６つの平行四辺形から成り立つことになる。

よって、１つのゾーンが２（ｎ－１）面を有することで、全ゾーンの有する面数はｎ×２（ｎ－１）で表すことができる。しかしゾーン多面体の全ての面数となると、構成面の平行四辺形が２つのゾーンを共有しているため、実際はその半分の数となり、ｎ（ｎ－１）となる（文献１３参照）。

ゾーン化

ゾーン多面体の形成はこの原理に従っているため、先で挙げた古典的な多面体群や星型多面大群とは形成方法を異にしていることが分かる。

この点を比較して大別すると、

アルキメデス立体はプラトン立体のそれぞれの頂を切り取る方法で形成し、これを切頂化（Ｔｒａｎｃａｔｉｏｎ）と呼び、

アルキメデス立体の双対立体はアルキメデス立体を双対化（Ｄｕａｌｉｚａｔｉｏｎ）することによって形成することができる。

星型多面体は、体の中心に多面体を核模型と設定することで形成し、星型化（Ｓｔｅｌｌａｔｉｏｎ）と呼んでいる。

これに対してゾーン多面体は、座標軸構成を用いることによって形成している。この形成を、ジョージ Ｗ．ハート（Ｇｅｏｒｇｅ Ｗ．Ｈａｒｔ）はゾーン化（Ｚｏｎｏｈｅｄｉｒｉｆｉｃａｔｉｏｎ）と命名している。以下、それに倣いゾーン化という。

ゾーン化における座標軸構成の設定には主に古典的多面体を用いている。

例えば、図２１９で示す正１２面体の備えている５回回転対称軸は６本からなり、全ての座標軸を用いてゾーン化すれば６つのゾーンを形成し、図１９８で示した菱形３０面体を形成することになる。

また、この６本の座標軸の内５本を座標軸構成に設定すれば、図２０３で示した菱形２０面体を形成することになる。以下、ゾーンの数を略して６ゾーン、４ゾーンという。

スティーブ ベイヤー（Ｓｔｅｖｅ Ｂａｅｒ）は、このゾーン化の適用を広げ１９７３年の公開特許文献の中で１０ゾーン及び３１ゾーンを提案している。

その１０ゾーンは、正１２面体の備えている３回回転対称軸、すなわち正１２面体の中心と２０個の頂点を結ぶ１０本の直線からなる軸構成を設定しゾーン化している。

３１ゾーンは、正１２面体の３回回転対称軸１０本、５回回転対称軸６本、及び２回回転対称軸１５本の全てを合わせた３１本からなる座標軸を用いたゾーン化である（特許文献３参照）。

今日ジョージ Ｗ．ハートは、このゾーン化の対象となる座標軸構成を古典的多面体群に広げ体系化し、ゾーン化の理論を発表している（非特許文献１４参照）。

以上、幾何変容に関わる第一の要素の概要を述べてきた。

図２１９

図１９８

図２０３