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- 1. ゾーン多面体 Zonohedron

【ここからのあらすじ】

・・・第三の構造の幾何学的特徴は今まで断片的にしか現れていなかった※。だが、それにつながる個々の内容には共通点が潜んでいた。

本質を掘り下げることによって、あるメカニズムが見えてくる。それによっての新たな構造が浮び上がり、後に有用な技術が開発され、さらに芸術へと展開していく。

新たなシステムを見い出すための要は、ゾーン多面体と多軸体構造の二つ要素における接点を見つけ、それらを融合することによって新たな構造の範疇を見出すことにある。そこで、これからその二つ要素について説明することにしよう。

なお、私の考えでは、このシステムの開発は私個人の恣意的な幾何学研究の成果ではなく、むしろ普遍的な幾何学システムの発見だといえる。

さらに構造的に次元の観点からいうと、３次元以上の構造を有することから、多次元構造といってもよい。

※ （なお、レシプロカルフレームReciprocal frameについては歴史的文献があります。）

【outline】･･･A geometrical features of the third-structure that have been appeared only in fragments up to now * .

However, the common feature lurked in the individual content that connected with it.

By delving into the essence, we'll see some mechanism. As a result, a new structure floats, whereby useful technologies will be developed later, and in addition, it will expand further into the art.

ゾーン多面体とは

以下、第一の要素であるゾーン多面体について本システムに関連する箇所に即して説明する。

この多面体は、１９６０年代幾何学者Ｈ．Ｓ．Ｍ．コクセター（Ｈ．Ｓ．Ｍ．Ｃｏｘｅｔｅｒ）がその構造理論を発表する以前には断片的に発見されていたにすぎなかった。

しかしそれ以降、この理論は建築家スティーブベイヤー（ＳｔｅｖｅＢａｅｒ）によって開発され、構造システムとして発表されることになる。ベイヤーは、この構造システムをゾーンシステムと名付けるとともに、このシステムを用いて構築するドーム状の構造物をゾーム（Zome)とも名付けた。

その後ゾーン多面体の形成方法は拡大し、今日に至っては、幾何学者であり彫刻家のジョージ・Ｗ・ハート（ＧｅｏｒｇｅＷ．Ｈａｒｔ）がこの形成方法を体系化している。

ゾーン多面体の範疇に属する代表例は背景技術の項で示したが、それ以外に、参考として一般的に知られているものをここで紹介する。

図２０３は菱形２０面体（ＲｈｏｍｂｉｃＩｃｏｓａｈｅｄｒｏｎ）、図２０４は斜方切頂立方８面体（ＲｈｏｍｂｉｔｒｕｎｃａｔｅｄＣｕｂｏｃｔａｈｅｄｒｏｎ）そして図２０５は斜方切頂２０・１２面体（ＲｈｏｍｂｉｔｒｕｎｃａｔｅｄＩｃｏｓｉｄｏｄｅｃａｅｄｒｏｎ）である。

ゾーン多面体は様々な方法により定義付けされているが、この多面体を名付けた幾何学者コクセターは以下のように定義を行なっている。

「ゾーン多面体とは、平行２ｍ角形（平行多角形：二つずつの辺が平行な多角形）の面から成る凸型多面体であり、その面の数はｎ（ｎ－１）である。ここでｎは、多面体において互いに平行となる稜線の異なる方向の数である。」（非特許文献１１参照）。

また、ゾーン多面体の特質としては、ゾーン（Ｚｏｎｅｓ）と呼ぶ平行四辺形の面の連結した帯を有している。この帯は、多面体の赤道上を一周していることからゾーン（Ｚｏｎｅｓ）と呼ばれている（非特許文献１２及び１３参照）。

具体的にゾーン多面体の形成原理を説明することで、先の定義とゾーンの概念がより明瞭となるであろう。

ゾーン多面体の形成原理

ゾーン多面体の形成原理の基軸となるところは座標軸の構成である。その構成を基にゾーン多軸体を導く。ここでの座標軸とは、原点を始点とする半直線ではなく、原点を通過する全直線を指していう。

例えば図２０６で示す座標軸構成である。この図は原点１１ａを通過する４本の軸１２ａによる構成を示している。設定する座標軸構成は任意設定によっても可能であるが、一般的なゾーン多面体はプラトン立体及びそれより派生する多面体から導く座標軸構成に基づいて形成している。

座標軸構成の設定にこれらの多面体を用いる主な理由は、プラトン立体の備えている回転対称性の特質を応用できる他、幾何解析と分類化の容易性にある。

先の図で示した座標軸構成は正６面体の備えている３回回転対称軸を用いている。図２０７は正６面体８を貫通する該座標軸構成を示すものである。

【回転対称軸】

ここで回転対称軸について説明しておこう。

対象物（この場合多面体）を貫通する座標軸の延長方向から見て、その対象の形状が回転することによって元の形状と重なり一致する場合、この軸を回転対称軸という。

そして３６０度の回転の内、何分割の回転で元の形状と重なるかによってその分割数を示す。

正六面体の場合、各頂点と体心１１ａを結ぶ軸の延長方向から見る体の形状は、図２０８で示すように菱形を三つ合わせた正６角形となる。よって、この形状は軸１２ａ３を中心に３６０度を３分割した角度で回転することによって元の形状と重なり一致するので、この軸を正６面体の備えている３回回転対称軸という。

以下、図２０７で示した座標軸構成に基づいて形成するゾーン多面体の一例を示し、その形成原理を説明する。

ゾーン多面体を構成している平行四辺形において、その内角の角度は設定した座標軸が原点で互いに成す角度を用いる。当該例の場合、４本の座標軸が交差して成す角度は二種類で、７０．５度及び１０９．５度となり、この角度を内角とする平行四辺形は一種類である。設定する座標軸構成によっては交差する角度の数が増え、形成する平行四辺形も数種類の場合もある。

次に、この平行四辺形によってゾーン多面体を形成するが、ゾーン多面体の面数は設定した座標軸の本数によって定まる。

その面数は方式ｎ（ｎ－１）で示すことができ、ｎは座標軸の本数を示している。当該例の場合、４座標軸なので１２面構成の多面体となる。また、軸構成の設定をこの４座標軸構成の内３座標軸に設定すれば６面構成のゾーン多面体となる。

それらのゾーン多面体を図によって示すと、図２０９が面数１２枚による菱形１２面体９であり、面数６枚による構成はゾーン６面体となる。

ただしゾーン６面体は、次の図で示す様に二つの多面体となる。一つは図２１０で示す鋭角ばかりが集まる頂点を持つゾーン６面体１３であり。もう一つは図２１１で示す鈍角ばかりが集まる頂点を持つゾーン６面体１４である。よって同じ試みを任意のｎ本の座標軸に基づいて行なえば、ゾーン２０・３０・４２・・・ｎ（ｎ－１）面体を得ることになる。