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- 4. 軸体

軸体とは

次の第二の要素は軸材による構造である。今日、この構造は異なる技術分野において応用されている。後に挙げる建築、木組みの立体パズル及び化学繊維の立体織等の分野においてである。

それぞれの分野においては適宜な名称で呼んでいるが、幾何学の分野においては、発展途上の段階に位置しているため、明確に概念化が定まってはいない。

ただし、ここで挙げる構造の一部については、宮崎興二が建築における構造として多線体と呼び（文献１５参照）、また岡利一郎は、論文において多軸体と命名している（文献１６参照）。

私は、永年の幾何学に関する研究を通して、多面体に対応するものや、後に述べることになるその変容型のものについては多軸体と、そして包まれた空間でない、例えば、面等に対応するものについては単に軸体と呼ぶことが適切であると判断し、以下多体軸体及び軸体という。

そこで、既に発表されている多軸体及び軸体を例に用いてその概念を具体的に説明するが、これらの幾何学概念はユークリッド幾何学とは異なる点があるため、先ずその幾何学的概念について明確に説明する。そこでは幾何学の基本的な対象である線を扱うため、ユークリッド幾何の概念との異なる点を比較する。

ユークリッド幾何において、線は点の集合であり幅のない長さとして定義されている（「原論」第１巻２３個の定義の一つ）。そして、この概念は平面及び立体にも及んでいる。比較のため、先に示した図２１９の正１２面体１７の枠構造を用いることにする。

図２２０

図２２１

図２２２

図２１９

ユークリッド幾何の観点から、この立体を構成する稜線は、概念上極限まで拡大視したとしてもその幅に変化はなく、太さという実体も有してはいない。しかし、線が太さ・幅を有する実体としてとらえることができることもまた概念上の事実である。

図２２０は正１２面体のそれぞれの稜線が太さを有した状態を示している。概念上、線分は極限まで拡大視しても太さを有するという前提条件である。線ではあるが、ここでは軸と解釈する。

この軸の交点は、線のそれとは異なり交わることはない。

よって、軸は多面体の各頂点に準じて規則的に交差することになる。軸が多面体に準じて多軸体を構成する場合、軸の交差を右重ね旋回若しくは左重ね旋回のどちらかに統一することでその形を構成することができる。

この規則性を保持した上で軸の交差によってできる三角形状の空間１８を徐々に広げていく。それによって、軸同士の接点は軸の長手中心方向へと除々にずれ、形態が変容することになる。

その変容を 図２２１から図２２５にかけての５段階で示す。

この一連の変容過程において軸の太さが一定であるならば、多軸体の大きさは、軸の太さに対して図２２１から図２２３にかけて徐々に小さなり、図２２３が最も小さくなる。そして、この状態を境にして図２２５にかけて徐々に大きくなっていく。これらの図において、軸は無限延長する形態となるが、多軸体の形態の変容を明確に示すため、軸交差部より外方側の延長部は切断し、省略して示している。

図２２６は正２０面体５の枠構造を示すが、図２２５の多軸体はこの正２０面体に対応する多軸体であることが理解できる。これらの多軸体の変容工程から、正１２面体に対応する多軸体から正２０面体に対応する多軸体の変容が一連の軸構成の変容であることが理解できる。

正２０面体と正１２面体はお互いに双対の関係にある。

この双対関係をユークリッド幾何の観点からすれば、２つの独立した立体を示し、頂点の数と面の数を入れ換えることによってお互いの形態を入れ換えることのできる関係にあると説明できる。しかし多軸体の観点からすれば、２つの立体の間にはトポロジー的性質を認めることができる。

この概念は、幾何学の範疇において非ユークリッド幾何における射影幾何の範疇に属するものである。射影幾何学の無限遠線の解釈に基づけば、線は太さを有した軸へと置き換えて解釈ができる（文献１７参照）。

以下、既に発表されている軸体及び多軸体を例に用いてその概要を説明する。

先ず、多軸体と軸体の違いを明確に示すため軸体から挙げる。軸体は面の連結に準じた構造体である。その一つの例として、英国カベントリー（Ｃｏｖｅｎｔｒｙ）大学のオリバー・バベレル（ＯｌｉｖｅｒＢａｖｅｒｅｌ）は、軸体の連結を主に建築物の屋根構造として技術転換することを提案している（特許公開文献４および文献１８参照）。