2.多面体幾何学 Polyhedral Geometry

 幾何学は数学における一分野ではなく、むしろ数の概念を生み出すヴィジョンの源である。その応用範囲は他の技術分野に関わる形態や構造そして空間の構成・把握に及んでいる。
そして、その発展は文明発祥以来、建築・彫刻・絵画等の芸術の分野にも影響を与えてきた。
幾何学の初期段階にユークリッド幾何が登場した。その中でも特に立体を扱った分野を多面体幾何学というが、それら多面体構造は正多面体いわゆるプラトン立体に基づいている。
ユークリッド幾何は「原論」全巻13巻にまとめられているが、最後の3巻は立体幾何に当てられており、その到達点はこの正多面体の解明に向けられている(文献1参照)。
Geometry is not one field in mathematics, but originally a source of the vision that invents concepts of the number. Its application range amounts to understanding the structure andconfiguration of the space technology and other related forms.
And its development has influencedthe field of art and sculptures, paintings and architecture ever since the cradle of civilization.
The euclidean geometry appeared at the early stage of geometry. The field which treated the solid especially called the polyhedral geometry. Those polyhedral structures are based on the regular polyhedron, so-called the Platonic solid.
Euclidean geometry "Element"has been compiled into 13 volumes of the whole, the last three volumes are devoted to polygonal geometry, the point has been reached for clarification of this platonic solids.
 今日、多面体幾何学を応用した技術は、大は建築物から小は分子構造模型に至るまで様々な分野において用いられている。
それらについて触れる前に、先ず、多面体幾何学の発展段階についてその歴史的経過を辿って説明しておかなければならない。それによってこの幾何の表面的な理解にとどまらない本質的な核心が見えてくるであろう。
Today, the technology applied to polyhedral geometry has been used in various fields from molecular model to building structure.
Before talking about them,  it is necessary to explain the developmental stage of the polyhedral geometry to follow the course of it history.As a result, an essential core that doesn't stay in superficial understanding of this geometry will come into view. 
 正多面体はプラトン立体とも言うが、その由来は古代ギリシャ時代、プラトンが彼の著書
ティマイオスの中でその多面体について扱っているからである。よって以下、プラトン立体という。
その後、この立体は「原論」で証明され、更に後の時代、アルキメデスはプラトン立体から規則的に変形した立体群を発見することになる。
 それらの立体は彼の名にちなんでアルキメデス立体といわれている。この立体は、二種類以上の正多角形が各頂点の周りに集まる立体であると同時に、プラトン立体と同じ回転対称性の性質を有しているものである。
今日このアルキメデス立体は、多面体幾何学の規則性に基づく分類によっては、半正(Semi-regular)多面体若しくは準正(Quasi-regular)多面体と呼ぶこともあるが、以下、アルキメデス立体という。
Regular polyhedra are also called the platonic solids, the origin of which is dealing with it in the book "Timaeus" written by Plato in the ancient Greek era.So below, said the platonic solids.
Afterwards, this solid is proven on "Element" and, in addition, the following age Archimedes will discover a solid group that regularly transforms from the Platonic solid. Those solids are called an Archimedean solid named after his name. 
 紀元前後から中世にかけては、様々な科学技術同様、この学問も際立った発展は見られない。
その後、アルキメデス双対立体及び星型正多面体などが中世以降徐々に発見されることになる。ここで双対立体とは、元の立体の頂点の数と面の数を互いに入れ換えた立体のことを指していう。
 近世を迎えては、その双対立体の中の菱形30面体が天文学者であり数学者であるヨハネス・ケプラーによって発見されている。そして近代に至るまで、多くの数学者・科学者によってその法則や証明が行なわれてきた。
During the Middle Ages from about AD, as well as a variety of science and technology,remarkable development is not seen in this study.
Then, the Archimedean dual solids and star-shaped polyhedron would gradually be discovered since the Middle Ages. Dual solid is the reverse of each other is that the solids surface of the original solid and that the number of vertices.
Into modern times, have been discovered the Rhombic Triacontahedron (a convex polyhedron with 30 rhombic faces)in the solid rhomboid its dual by the astronomer and mathematician Johannes Kepler.And, the law and proof have been done to modern ages by a lot of mathematicians and scientist.
 現代においてはH・S・M・コクセターを頂点とする幾何学者達によって多胞体をはじめ、星型多面体や菱形多面体等が研究されている。
前世紀後半、ゾーン多面体という範疇が発見され、その結果、菱形多面体はこの多面体に含まれることとなる。
注目すべきことに、従来多面体を解釈するには面構成や枠構成によって行われて来たが、近年線材や軸材を用いた構成によって解釈する方法も見出されている。(文献2・3及び4参照)
それらはポリリンクテンセグリティーそして多軸体といわれるものである。
In modern times, Including polytopes, stellated polyhedron and such as rhombic polyhedron have been investigated by geometers headed by H.S.M. Coxeter.
The second half of last century, discovered category of Zonohedron. As a result, rhombic polyhedron will be contained in this polyhedron.
Remarkably, the traditional interpretation of the polyhedron was done even though the surface composition and frame configurations,in recent years have been also found configuration method by using wire and strut or shaft materials . 
They are the one being said Polylinks,  Tensegrity, and the multi axis body(Polyaxis). 

参考文献
  • 【文献1】「ジュニア数学百科」監修:馬場良和、出版社:大竹出版、ユークリッド幾何学p404
  • 【文献2】「多面体と建築」著者:宮崎興二、出版社:彰国社、多面体の歴史pp.1-26、
  • 【文献3】「建築のかたち百科」著者:宮崎興二、出版社:彰国社、(星型多面体pp68-70、アルキメデス立体及びその双対立体の外観一覧p52、線材・軸材による構造pp94-95、星型多面体状の照明器具p68、ゾーン多面体pp.88-91)
  • 【文献4】「正多面体を解く」著者:一松信、出版社:東海大学出版会
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Archimedean solid